Cos'è matrice singolare?

Una matrice singolare, detta anche matrice non invertibile o matrice degenere, è una matrice quadrata il cui determinante è zero. Questa proprietà implica che la matrice non possiede un inverso.

Caratteristiche principali di una matrice singolare:

  • Determinante nullo: Il determinante, calcolato con varie tecniche (ad esempio, espansione di Laplace), è uguale a zero. Questo è il criterio principale per identificare una matrice singolare.
  • Non invertibile: Non esiste una matrice che, moltiplicata per la matrice singolare, produca la matrice identità. Formalmente, non esiste una matrice A<sup>-1</sup> tale che A * A<sup>-1</sup> = I.
  • Righe (o colonne) linearmente dipendenti: Almeno una riga (o colonna) della matrice può essere espressa come combinazione lineare delle altre. Ciò significa che le righe (o colonne) non sono vettori linearmente indipendenti.
  • Rango inferiore alla dimensione della matrice: Il rango della matrice (il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti) è inferiore alla dimensione della matrice (numero di righe/colonne). Se una matrice n x n ha rango inferiore a n, è singolare.
  • Sistema di equazioni lineari non unico (o non esistente) soluzione: Se una matrice singolare rappresenta i coefficienti di un sistema di equazioni lineari, il sistema avrà infinite soluzioni oppure nessuna soluzione.

Implicazioni:

La singolarità di una matrice ha importanti implicazioni in diversi campi, tra cui:

  • Algebra lineare: Influisce sulla risolubilità di sistemi di equazioni e sulla diagonalizzabilità di una matrice.
  • Calcolo numerico: La presenza di matrici singolari o quasi singolari può causare problemi di instabilità e inaccuratezza negli algoritmi numerici.
  • Statistica: In modelli statistici, una matrice singolare di covarianza indica multicollinearità, che può rendere difficile l'interpretazione dei risultati.
  • Grafica 3D: La singolarità di una matrice di trasformazione può causare distorsioni o la perdita di informazioni nell'immagine.

In sintesi, una matrice singolare è una matrice quadrata con determinante zero, che porta alla sua non invertibilità e a diverse conseguenze significative in matematica e nelle sue applicazioni.